Dallogliolarissaidn
Answered

IDNLearner.com, seu guia para respostas confiáveis e rápidas. Nossa comunidade fornece respostas precisas para ajudá-lo a entender e resolver qualquer problema.

Seja V o R-espaço vetorial dos polinômios:
p(x) € R[x] ≤ 23
Seja W o subespaço dado por:
W = {p(x) € V | ³ p(x)dr = 0 e d² (3) = 0}
Então dimR W é igual a:

Seja V O Respaço Vetorial Dos Polinômios Px Rx 23 Seja W O Subespaço Dado Por W Px V Pxdr 0 E D 3 0 Então DimR W É Igual A class=

Sagot :

quando é 209177×2220-1

Yebefey891idn

Para resolver essa questão, precisamos entender as condições impostas sobre o subespaço WW e calcular sua dimensão.

Dado p(x)∈R[x]p(x)∈R[x] com grau máximo de 23, podemos escrever p(x)p(x) como:

p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23p(x)=a0​+a1​x+a2​x2+⋯+a23​x23

O subespaço WW é definido por duas condições:

   ∫01p(x) dx=0∫01​p(x)dx=0

   p′′(3)=0p′′(3)=0

Vamos analisar cada condição:

Condição 1: ∫01p(x) dx=0∫01​p(x)dx=0

A integral ∫01p(x) dx∫01​p(x)dx pode ser expandida em termos dos coeficientes aiai​:

∫01p(x) dx=∫01(a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23) dx∫01​p(x)dx=∫01​(a0​+a1​x+a2​x2+⋯+a23​x23)dx

Cada termo da integral pode ser calculado separadamente:

∫01xk dx=1k+1para k≥0∫01​xkdx=k+11​para k≥0

Portanto:

∫01p(x) dx=a0∫011 dx+a1∫01x dx+a2∫01x2 dx+⋯+a23∫01x23 dx∫01​p(x)dx=a0​∫01​1dx+a1​∫01​xdx+a2​∫01​x2dx+⋯+a23​∫01​x23dx

=a0⋅1+a1⋅12+a2⋅13+⋯+a23⋅124=a0​⋅1+a1​⋅21​+a2​⋅31​+⋯+a23​⋅241​

=a0+a12+a23+⋯+a2324=0=a0​+2a1​​+3a2​​+⋯+24a23​​=0

Essa é uma equação linear envolvendo os coeficientes a0,a1,a2,…,a23a0​,a1​,a2​,…,a23​.

Condição 2: p′′(3)=0p′′(3)=0

Calculando a segunda derivada de p(x)p(x):

p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23p(x)=a0​+a1​x+a2​x2+⋯+a23​x23

A primeira derivada é:

p′(x)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+23a23x22p′(x)=a1​+2a2​x+3a3​x2+⋯+23a23​x22

A segunda derivada é:

p′′(x)=2a2+6a3x+12a4x2+⋯+23⋅22a23x21p′′(x)=2a2​+6a3​x+12a4​x2+⋯+23⋅22a23​x21

Substituindo x=3x=3:

p′′(3)=2a2+6a3⋅3+12a4⋅32+⋯+23⋅22a23⋅321=0p′′(3)=2a2​+6a3​⋅3+12a4​⋅32+⋯+23⋅22a23​⋅321=0

Isso é outra equação linear envolvendo os coeficientes a2,a3,a4,…,a23a2​,a3​,a4​,…,a23​.

Dimensão do Subespaço WW

Temos duas equações lineares independentes sobre os coeficientes de um polinômio de grau 23. Portanto, essas duas condições independentes reduzem a dimensão do espaço de polinômios por 2.

A dimensão do espaço de todos os polinômios de grau até 23 é 24. Assim, a dimensão do subespaço WW será:

dim⁡RW=24−2=22dimR​W=24−2=22

Portanto, a dimensão de WW é 22.

Obrigado por seu compromisso constante. Continue compartilhando suas ideias e experiências. Sua participação nos ajuda a todos a aprender e crescer juntos. Obrigado por visitar IDNLearner.com. Estamos aqui para fornecer respostas confiáveis, então visite-nos novamente em breve.