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70 PONTOS!
Um triângulo ABC possui ângulos internos de Â=64°, B=36° e ^C=80°.
 Considere a circunferência inscrita neste triângulo, de centro I e que toca os lados do triângulo nos pontos P, Q e R.

(a)Olhando para o quadrilátero AQIR, calcule a medida do ângulo QÎR deste quadrilátero.

(b)Calcule a medida do ângulo Q^PR  do triângulo PQR.

(c)Calcule a medida dos outros dois ângulos internos do triângulo PQR.

70 PONTOSUm Triângulo ABC Possui Ângulos Internos De Â64 B36 E C80 Considere A Circunferência Inscrita Neste Triângulo De Centro I E Que Toca Os Lados Do Triâng class=

Sagot :

Adriandelgadoidn
a)Observe que o centro da circunferência inscrita de um triângulo é o incentro que é o encontro das bissetrizes de um triângulo logo:

[tex]A\hat{C}I=I\hat{C}P=80/2=40^{\circ}\\ R\hat{A}I=Q\hat{A}I=64/2=32^{\circ}\\ P\hat{B}I=I\hat{B}R=36/2=18^{\circ} [/tex]

Além disso,como o círculo é tangente aos lados do triângulo ABC os ângulos marcados em verde são retos.
Antes de continuar,usaremos um fato da geometria:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°

[tex]QIR=QIA+AIR\\ =[180-(90+32)]+[180-(90+32)]= \\=58+58=116^{\circ}[/tex]

b)Usaremos outro fato da geometria:
Um ângulo inscrito tem medida igual a metade do ângulo central de mesmo arco.

[tex]QPR=QIR/2=116/2=58^{\circ}[/tex]

c)Usando o mesmo raciocínio do item b),podemos calcular os outros dois ângulos.
[tex]PIR=PIB+BIR=\\ =[180-(90+18)]+[180-(90+18)]=\\ =72+72=144^{\circ}\\ \\ P\hat{Q}R=P\hat{I}R/2=144/2=72^{\circ}[/tex]

[tex]Q\hat{I}P=C\hat{I}Q+C\hat{I}P=\\ \\=[180-(90+40)]+[180-(90+40)]=\\ =50+50=100^{\circ}\\ \\ P\hat{R}Q=Q\hat{I}P/2=100/2=50^{\circ}[/tex]
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