Olá, Nara.
A expressão [tex](1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+...[/tex] é a soma de uma progressão geométrica (PG) infinita de razão [tex](1+x)[/tex] e primeiro termo [tex](1+x).[/tex]
A fórmula da soma da PG infinita é:
[tex]S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}, a_1 = \text{primeiro termo}, q=\text{raz\~ao } (-1<q<1)[/tex]
[tex]\underbrace{(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+...}_{\text{PG\ inifinita}}=3 \Rightarrow \frac{1+x}{1-(1+x)}=3 \Rightarrow \\\\\\ \frac{1+x}{-x}=3 \Rightarrow1+x=-3x \Rightarrow 4x=-1 \Rightarrow \boxed{x=-\frac14}[/tex]
