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Sagot :
Seja [tex]\psi=1^{2~007}+2^{2~007}+3^{2~007}+\dots+2~006^{2~007}+2~007^{2~007}[/tex]
Observe que:
[tex]1^{2~007}\equiv1\pmod{5}[/tex]
[tex]2^{2~007}\equiv3\pmod{5}[/tex]
[tex]3^{2~007}\equiv2\pmod{5}[/tex]
[tex]4^{2~007}\equiv4\pmod{5}[/tex]
[tex]5^{2~007}\equiv0\pmod{5}[/tex]
[tex]6^{2~007}\equiv1\pmod{5}[/tex]
Desta maneira, há um padrão, formado por [tex]5[/tex] números.
Desse modo, esta sequência: [tex]1, 3, 2, 4, 0[/tex], repete-se [tex]401[/tex] vezes, uma vez que [tex]2~007=5\times401+2[/tex] e, a soma dos números deste padrão é [tex]1+3+2+4+0=10[/tex].
Logo, podemos afirmar que:
[tex]\psi\equiv1^{2~007}+2^{2~007}+\dots+2~007^{2~007}\equiv401\times10+1+3\equiv4~014\equiv4\pmod{5}[/tex]
E, portanto, o resto da divisão de [tex]\psi[/tex] por [tex]5[/tex] é [tex]4[/tex].
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